Remedial Matematika

1. Soal tentang Perbandingan Trigonometri

Diketahui $△ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$
A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$
B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$
C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan :
Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$
Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$
Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.
Untuk itu,
$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$
(Jawaban B)

2. Soal tentang Sudut Berelasi

Hitunglah nilai dari sin 150° ...
a. 1/2
b. 1/3
c. 1/4
d. 2/3
e. 2/5

Pembahasan :
Menggunakan komplemen 90 sehingga memperoleh sin 150° = (90° + 60°) = cos 60° = 1/2 (A)

3. Soal tentang aturan sinus cosinus dan luas segitiga

Diketahui △ABC dengan panjang sisi a=4 cm, ∠A=120∘, dan ∠B=30∘. Panjang sisi c=⋯⋅
A. 2√2 cm                  D. 34√2 cm
B. 43√3 cm                 E. √3 cm
C. 34√3 cm

Pembahasan :

Karena jumlah besar sudut dalam segitigaselalu ${180}^{\circ }$, maka $\angle C=(180-120-30{)}^{\circ }={30}^{\circ }$.
Selanjutnya, dengan menggunakan AturanSinus, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{a}{\sin A}& =\frac{c}{\sin C}\\ \frac{4}{\sin {120}^{\circ }}& =\frac{c}{\sin {30}^{\circ }}\\ \frac{4}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}& =\frac{c}{\frac{1}{2}}\\ c& =\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang sisi $c=\frac{4}{3}\sqrt{3}\text{cm}$
(Jawaban B)

4. Soal tentang Persamaan Trigonometri

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x =  ½ …..

A. HP = {30o,120o}

B. HP = {30o,390o}

C. HP = {30o,480o}

D. HP = {120o,480o}

E. HP = {390o,480o}

Pembahasan :

5. Soal tentang Grafik Trigonometri

Diketahui fungsi . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

  A.       3

  B.       6

  C.       12

  D.       18

  E.       36

Pembahasan :

Diketahui fungsi f(x):

  

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

  

  

Nilai minimum = b, maka

  

  

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

  

  

  

  

Jawaban: B

6. Besar sudut 

$\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. ${75}^{\circ }$                   C. ${135}^{\circ }$               E. ${270}^{\circ }$             
B. ${105}^{\circ }$                 D. ${210}^{\circ }$

Pembahasan :

Ingat bahwa $\pi \text{rad}={180}^{\circ }$

Dengan demikian,

$\begin{array}{cc}\frac{3}{4}\pi \text{rad}& =\frac{3}{4}\times {{180}^{45}}^{\circ }\\ & =3\times {45}^{\circ }={135}^{\circ }\end{array}$

Jadi, besar sudut $\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan ${135}^{\circ }$

(Jawaban C)

7.Besar sudut 

${72}^{\circ }$ sama dengan $\cdots \text{rad}$
A. $\frac{1}{5}\pi$                   C. $\frac{2}{3}\pi$                  E. $\frac{5}{6}\pi$               
B. $\frac{2}{5}\pi$                   D. $\frac{3}{4}\pi$       

Pembahasan :

Ingat bahwa $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{72}^{\circ }& ={72}^2\times \frac{\pi }{{180}^5}\text{rad}\\ & =\frac{2}{5}\pi \text{rad}\end{array}$
Jadi, besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan $\frac{2}{5}\pi \text{rad}$
(Jawaban B)

8. Diketahui koordinat titik A(−2√2,−2√2).Koordinat kutub dari titik A adalah ⋯⋅

A. (4,210∘)                 D. (5,240∘) 
B. (2,240∘)                 E. (4,225∘)
C. (2,225∘)

Pembahasan :

Diketahui: x=y=−2√2
Koordinat kutubnya berbentuk (r,θ), dengan
r=√x2+y2=√(−2√2)2+(−2√2)2=√8+8=4
dan
tanθ=yx=−2√2−2√2=1⇒θ=45∘∨225∘
Karena titik A berada di kuadran III (nilai x dan ynegatif), maka θ=225∘. 
Jadi, koordinat kutub dari A(−2√2,−2√2)adalah (4,225∘)
(Jawaban E)

9. Diketahui 

$△ABC$ siku-siku di $B$. Jika $\cos A=\frac{3}{4}$, nilai $\cot A=\cdots \cdot$

A. $\sqrt{7}$                                 D. $\frac{3}{4}\sqrt{7}$

B. $\frac{3}{7}\sqrt{7}$                             E. $\frac{4}{3}\sqrt{7}$

C. $\frac{4}{7}\sqrt{7}$

Pembahasan :

Cosinus sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku.

Untuk itu,

$\cos A=\frac{3}{4}=\frac{AB}{AC}$

Misalkan $AB=3$ dan $AC=4$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh

$\begin{array}{cc}BC& =\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}\\ & =\sqrt{(4{)}^2-(3{)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$

Cotangen sudut adalah perbandingan panjang sisi samping sudut terhadap sisi depan sudutpada suatu segitiga siku-siku.

Untuk itu,

$\cot A=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3}{7}\sqrt{7}$

Jadi, nilai $\cot A=\frac{3}{7}\sqrt{7}$

(Jawaban B)

10.Tentukan nilai dari 

$\frac{sin{100}^{\circ }-cos{190}^{\circ }}{cos{350}^{\circ }-sin{260}^{\circ }}$

Pembahasan :
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :
$\frac{sin{100}^{\circ }-cos{190}^{\circ }}{cos{350}^{\circ }-sin{260}^{\circ }}=\frac{cos{10}^{\circ }-(-cos{10}^{\circ })}{cos{10}^{\circ }-(-cos{10}^{\circ })}=\frac{2cos{10}^{\circ }}{2cos{10}^{\circ }}=1$

11. Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari $\frac{tan(x+{110}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}$

Pembahasan :
tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya
$\frac{tan(x+{110}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}=\frac{-cot(x+{20}^{\circ })}{2cot(x+{20}^{\circ })}=-\frac{1}{2}$

12. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Pembahasan :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

13. Perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°

Pembahasan :
sin 30° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

14. Soal: Berapa derajatkah sudut 3,5 radian?

Jawab:

3,5 radian = 3,5 x(180°/π) = 200,535°

15. 15.S: Hitunglah sudut 2,2 radian dalam derajat!

Jawab:

2,2 radian = 2,2 x (180°/π) = 126°

16. Soal: 15° berapa radian?

Jawab:

15° = 15 x (π/180) = 0,265 radian

17. Soal: Nyatakan sudut 60° dalam π radian!

Jawab:

60° = 60 x (π/180) = π/3 radian

18.Soal : Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab : 

Sudut 143° ada pada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

19. Soal : tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘

Jawab : sin 100° = sin (90° + 10°)

= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°

Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1

20.Besar sudut 

${72}^{\circ }$ sama dengan ... rad

 Pembahasan :

Ingat bahwa $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{rad}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{cc}{72}^{\circ }& ={72}^2\times \frac{\pi }{{180}^5}\text{rad}\\ & =\frac{2}{5}\pi \text{rad}\end{array}$
Jadi, besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan 2/5 π rad